Zwarte Gaten en het

Holografisch Principe

[ voor een volledig overzicht van deze onderwerpen: zie L.Randall, "Warped Passages" en L.Susskind "The Blackhole War"]

R.Slagter 

A. Inleiding.

We weten dat de zwaartekracht op een voorwerp groter wordt als de afstand tot b.v. een planeet kleiner wordt.Wanneer een ster begint af te koelen, dan zal hij op den duur bezwijken onder zijn eigen zwaartekracht. En hoe kleiner hij wordt, des te groter wordt weer de zwaartekracht. uiteindelijk stort de materie in tot een zwart gat: zelfs licht kan niet meer ontsnappen (ook licht "voelt"de zwaartekracht). Men kan een zwart gat herkennen aan de beweging van sterren in de buurt ervan. Hieronder zie je een model. Een zwart gat is een soort stofzuiger, die alles wat te dicht bij komt, opslokt. Het is te vergelijken met een grote draaikolk: passeer je het "point of no return" dan ben je verloren.

Ook ons melkwegstelsel heeft een zwart gat in het centrum.

B. De klassiek eingenschappen van een zwart gat en de paradox

Een zwart gat is het eindstadium van een ster wanneer deze in de eindfase van zijn leven ineen schrompelt tot een compact object, waar niets meer uit ontsnapt, zelfs geen licht ( zie Hst 5 sterrenkunde). Omdat de klassieke zwaartekracht van Newton omgekeerd evenredig is met het kwadraad van de afstand tot het middelpunt van de ster ( F_g =G m₁ m₂/r²  ) , zal de overblijvende massa van de ster dus steeds sterker naar het middelpunt worden getrokken. Er ontstaat een singulier punt, een punt waar alle massa zit. Dit is niet meer  voor te stellen.

Het oppervlak waarbinnen men niet meer kan ontsnappen aan de zwaartekracht, noemt men de gebeurtenis- horizon.

De straal van deze horizon is  R_h = 2MG/c² met M de massa , c de lichtsnelheid en G de gravitatieconstante. Dus de horizon zal groter worden voor grotere zwarte gaten. Wanneer men naar een super-zwaar zwart gat valt, zal men vallende persoon niet veel merken van het passeren van de horizon. Volgens het equivalentyie principe van Einstein, vrije val = zwaartekracht( zie het gedachte experiment in Hst 5 van sterrenkunde), voelt de vallende reiziger niet veel. Immers wanneer wij in een vrije val naar de aarde gaan, voelen we ook geen kracht meer.  Is het een klein zwart gat, dan zal hij een grotere kracht voelen op zijn onderlijf ( getijde werking), en zal wat uitrekken. Pas wanneer hij bij de singulariteit komt, wordt het onaangenaam.

Hoe lang zal de reis duren voor de vallende reiziger? Voor een super zwaar gat zal de reis ongeveer een uur duren. De tijd die de vallende reiziger meet is de eigentijd. Iemand die met een telescoop naar de ongelukkige reiziger kijkt ziet echter geheel iets anders. Die ziet de tijd op het horloge van de reiziger steeds trager lopen (dit is de  tijdrek; zie de tweelingparadox van  hst. 5). Hieronder zie je de wereldlijnen op verschillende afstanden van de horizon.

 

De tijdsintervallen van een seconde ( de punten) komen steeds dichter bij elkaar. Vlak bij de horizon, zal de klok nagenoeg tot stilstand komen.Hij zal nooit de horizon passeren!  Dit verlies van simultaniteit is een van de merkwaardige gevolgen van de beschrijving van de ruimte-tijd door Einstein'relativiteitstheorie.
Maar er is meer aan de hand bij de horizon. We weten dat de wereld na de kleine deeltjes  beschreven door de quantum mechanica ( zie sterrenkunde).Komt een deeltje te dicht bij de horizon, dan is het verloren. We weten ook dat uit het vacuum massieve deeljes-paren kunnen ontstaan. We noemen dit "quantum jitters" of nulpunts energie. Het vacuum is dus een latente kokende pot met allerlei virtuele deeltjes, die even tot bestaan komen en dan weer verdwijnen. Dit effect is wel gebonden aan de onzekerheidsrelatie van Heisenberg: m.Dv.Dx>h. of DE.Dt>h. Dus hoe zwaarder de virtuele deeljes zijn, des te korten treedt het uit het vacuum. Dit verschijnsel is trouwend voor het eerst door de nederlandse natuurkundige Casimir aangetoond in het Philips laboratorium!

Een ander bekend proces is bijvoorbeeld het ontstaan van een electron-positron paar uit een ( werkelijk) foton ( de energie van een foton : E=h.f)    : hf  >>  e⁺+ e^-

We weten ook dat dit paar quantum-mechanisch met elkaar verbonden blijft. Het paar wordt beschreven door 1 golffunctie. We noemen dit QM entanglement. Het geeft aanleiding tot  de beroemde niet-lokaliteit van dit deel van de werkelijkheid!  Immers wanneer we zo'n entangled paar ver uit elkaar laten bewegen en men meet de eigenschappen van het ene deeltje, dan "weet" het andere deeltje onmiddelijk zijn eigenschappen! Deze informatie kan dus sneller dan het licht gaan! Dit is experimenteel aangetoond!
Maar veronderstel nu dat zo virtueel paar vlak bij de horizon van een zwart gat ontstaat en 1 van de componenten valt door de horizon! Dat gaat er behalve wat energie ( E=Mc²) ook informatie verloren! Het proces van paarvorming is niet meer omkeerbaar. Het ene deeltje kan zijn partner niet meer vinden en dus ook niet zijn quantum eigenschappen. Het zwarte gat zal dus steeds zwaarder worden en is een informatie verslinder. Echter in de natuur gelden behoudswetten en een daarvan is behoud van informatie. Hier klopt dus iets niet. Het is een controverse tussen de quantum mechanica en de zwaartekracht theorie. Het was Hawking die beweerde dat een zwart gat dus informatie laat verdwijnen. Bovendien heeft een zwart gat "gewone"" eigenschappen:  massa, lading, entropie  ( maat voor de (wan-)orde van een systeem), temperatuur  en eventueel een draaiing ( en magnetische lading).

Wat is precies informatie en entropie? We drukken informatie uit in bits en de entropie E = k.log(P), met k de constante van Boltzmann en P de kans op de configutatie ( systeem) onder beschouwing.
Beschouw het volgende voorbeeld. We plaatsen 3 rode en 3 blauwe balletjes in een doos, netjes gerangschikt. Gaan we de doos schudden, dan zal en een wanordelijke verdeling ontstaan. We zeggen dat de entropie is toegenomen, immers de kans op de rechter verdeling is groot. Blijven we de doos schudden, dan zal de kans om opnieuw de linker verdeling te krijgen klein zijn! De entropie is dus ook  een maat  van het aantal rangschikkingen dat voldoet aan een bepaald criteriu; of: entropie=onbekendheid van de preciese lokatie van de "deeltjes"

Onze wereld steeft naar maximale entropie, de warmte dood van het heelal: een uniforme verdeling van deeltjes in de buurt van het absolute nulpunt ( tweede hoofdwet van de thermodynamica.). Nu is het heelal ( afgezien van sterren en sterrenstelsels) ongeveer 2,7 K. In feite verliezen we het spoor van de details. Anders geformuleerd: entropie is een maat van de hoeveelheid informatie die verborgen zit in de details. Voor het totale aantal deeltjes in het heelal is dit dus een zeer groot getal!
Is er in ons voorbeeld nu informatie verloren gegaan? Neen! In principe zou men de deterministiche regel van de beweging en botsing van de knikkers kunnen uitrekenen en wanneer men deze zou toepassen voor het omgekeerde proces, zal men de oorspronkelijke verdeling terugkrijgen. Een beter bewijs van behoud van informatie  wordt geleverd met behulp van  de quantum mechanica  ( zie later). Men zou de linker situatie ook entropie-waarde  nul kunnen geven, wanneer we deze specifieke verdeling als  begin verdeling opvatten ( bijvoorbeeld een 6- atoomrooster bij 0K).

Hoeveel informatie kan men opslaan in een bepaalde ruimte?

We kennen in de natuur enkele belangrijke constanten. Drie daarvan zijn zeer belangrijk:
                de lichtsnelheid c=2,998.10⁸m/s
                constante van Planck h=6,626.10^-34  m² kg/s
                Newton's gravitatie constante G=6,67.10^-11 m³/s² kg
De vraag komt dan naar boven, waarom deze natuurconstante zo klein of groot zijn. Waarom niet van de orde 1?
Stel we  maken deze constanten voor het gemak allen 1: c=h=G=1.Dan worden de eenheden van tijd, lengte en massa natuurlijk ook anders. Het blijkt dan dat deze  nieuwe eenheden worden:

de eenheid van lengte (plancklengte) = 1,6.10^-35 m
de eenheid van massa (planckmassa) = 2,2.10^-8 kg
de eenheid van tijd ( plancktijd ) = 5,4.10^-44 s.

We zullen zien dat deze getallen de kleinste afmeting , de kleinste massa en de halveringstijd van een mini zwart gat zijn ( zie verder)
We zouden zo dus de maximale hoeveelheid informatie kunnen uitrekenen die ons heelal kan bevatten, wanneer we er van uitgaan dat een kubieke plancklengte de kleinste cel is:   [ volume van het heelal] / [ kubieke plancklengte] = 7.10¹⁴⁷ bits . We zullen verderop zien dat we dit getal moeten bijstellen.

Hawking bewees dat wanneer  1 bit aan informatie aan een zwart gat wordt toegevoegd, de straal toeneemt met 2hG/R_hc³ .De oppervlakte neemt dan met 1 planck-eenheid  van oppervlak toe.  De entropie van een zwart gat is evenredig met de oppervlakte van zijn horizon gemeten in planckenheden.. Dus

informatie  ~  oppervlakte

In zeker opzicht kan een zwart gat opgevat worden als een zwarte straler, een kookpot die warmtestraling afgeeft en uiteindelijk verdampt. Maar dan krijgen we de merkwaardige situatie dat er "iets" moet overblijven met heel veel informatie per volume eenheid. Hawking beweert dat er misschien een "baby-universum" op die plek zal ontstaan. We zullen zien dat dit soort extreme  "escape"-routes niet nodig zijn

Hawking kon ook voor het eerst de temperatuur van een zwart gat  uitrekenen..  Wanneer er een deeltje in het zwarte gat valt, neemt de informatie toe, dus de entropie en de massa. De temperatuur van een zwart gat wordt bepaald door:

T= hc³/16p²GkM

Dus als de massa toeneemt, neemt de temperatuur af. Hawking kon door berekeningen laten zien dat een zwart gat ook een straler is. Hij zal op den duur zijn massa verliezen. Maar de informatie zal niet terugkomen!  We zullen zien dat deze stelling niet houdbaar is. Er is  iets fundamenteel  mis met de deze voorstelling van een zwart gat. Want temperatuur is de toename van de energie van een systeem wanneer er bits aan entropie aan toe wordt gevoerd. En temperatuurtoename betekent straling en dus "deeltjes" die uit het zwarte gat komen en dus informatie ( herinnering: vele wanordelijke deeltjes vormen veel  informatie).
Deze zgn. Hawking straling wordt experimenteel (nog) niet gevonden.

B. De horizon nader beschouwd: complementair beeld

Tegenwoordig vermoedt men dat zwarte gaten kunnen ingedeeld worden bij de elementaire deeltjes, zoals leptonen en quarks. Ze kunnen echter, in tegenstelling tot  de andere elementaire deeltjes, toenemen in massa. Wanneer men een zwart gat gaat behandelen als een quantum-mechanisch object, dan blijkt de entropie paradox  opgelost. 

In de quantum mechanica worden deeltjes processen, zoals botsingen tussen elementaire deeltjes, beschreven door een slim wiskundig proces.

Stel we volgen een vallend persoon richting de horizon van een zwart gat. We zagen reeds, zeker wanneer het een superzwaart gat betreft, dat in het stelsel van de vallende persoon er niet veel gebeurt tijdens het passeren van de horizon. Hij kan alleen niet meer terug. Ook zijn klok zal normaal lopen. Geheel volgens de algemene gravitatie theorie van Einstein. Men noemt dit het equivalentie-principe: het gravitatie veld is lokaal equivalent aan een versnellend stelsel. Of we nu boven het oppervlak van aarde, Jupiter ,neutronen ster of een zwartgat ons laten vallen, we zullen in alle situaties simpelweg een versnelling ervaren die toeneemt met de massa van het hemellichaam.

Maar wat zal een waarnemer die achterblijft in zijn ruimteschip dat rond het zwarted gat cirkelt waarnemen als hij naar de vallende persoon kijkt? Hij zal de klok zeer snel zien lopen en dat de persoon steeds dichter naar de horizon toe steeds heter wordt en uiteindelijk desintegreert in deeltjes. Dit is de Hawking straling!  Hij zal nooit de horizon passeren!! Zou men een thermometer aan een kabel laten zakken richting horizon, dan zal hij oplopen tot miljoenen  graden!.

Waanom detecteren we deze straling niet? Door de enorme gravitationele roodverschuiving  zal de golflengte zeer ver naar het infrarood verschuiven! De Hawking temperatuur straling zal in energie uitgedrukt, zeer gering zijn. Voor een gemiddeld zwart gat 10^-8K. Zie de animatie van een stoel die richting het zwarte gat valt.

We hebben hier te maken met een complementair beeld van een zwart gat. Waar komen we dit complementaire karakter ook tegen? Juist, in de quantum mechanica.  Een elenmaire deeltjes kan  golf en deeltje zijn.

Laten we nog eens teruggaan naar de onzekerheids relatie van Heisenberg. Stel we willen de positie en snelheid van een electron bepalen. Dan moeten we op twee momenten de plaats bepalen om de snelheid te kunnen berekenen. Het waarnemen gebeurt met de fotonen van het licht.We mogen echter niet de beweging van het electron verstoren  met deze fotonen doordat ze tegen het electron botsen. Duis moet en we een zeer lage energie-foton gebruiken. Omdat E=h.c/L, moet dus de golflengte van het foton zeer groot zijn. Maar dan wordt het electron omzichtbaar ( oplossing als L< afmeting electron). Met andere woorden, het beeld van het electron wordt "fuzzy".Men kan nog wel de snelheid bepalen uit twee "fuzzy"" plaatsen. Dit is  precies de inhoud van Heisenberg's onzekerheids relatie: De snelheid goed bepalen ten kosten van de plaats of visa versa. Snelheid en plaats zijn complementaire aspecten van het electron.

Bij het zwarte gat hebben we ook een complementair effect: blijf veilig buiten de horizon en verzamel je data, of ga door de horizon en doe complementaire waarnemingen. Beiden kan niet! Stel echter dat we 1 atoom volgen richting horizon. Vlak bij de horizon aangekomen, zal het atoom desintegreren in quarks en leptons. Dit waarnemen gebeurt weer met fotonen, zoals bij het Heisenberg's proef. We willen weer precies het atoom volgen wanneer het zeer dicht bij de  horizon komt ( enkele planck-lengtes dik). Dan hebben we licht nodig van immense frequentie. Deze fotonen zullen het atoom laten desintegreren voordat het de stretched horizon bereikt! 

Conclusie:  

Om de preciese eigenschappen van de horizon te kunnen bepalen, komt men in het gebied van de planck-lengte. Hierover bestaat geen  nog geen theorie.

Om het bovenstaande nog eens duidelijk te maken met een ander voorbeeld, beschouwen we een foton in een doos, met aan de binnenkant perfecte spiegels.

Het foton zal een staande trilling uitvoeren. vervolgens maken we de doos kleiner. Dan zal de energie van het foton moeten toenemen! Komt men in de buurt van de plancklengte, wat zal er met het doosje gebeuren? Juist een zwart gat zal ontstaan.

Dan treedt weer de zwarte gat frustratie op: willen we deze kleine details zien, dan hebben we weer hoog energetische fotonen nodig. Deze zullen het zwarte gat versterken en zal groeien. Er treedt Hawking straling op waarvan de golflengte weer zal toenemen ( gravitationele roodverschuiving) en er ontstaat wer een "fuzzy" beeld. Dus kunnen we alleen groterer afmetingen onderscheiden. Hieronder is dat in een grafiek weergegeven ( infrarood-ultraviolet connection)

Men kan dus het spectrum van de elementaire deeltjes uitbreiden:

Er is nog een andere oplossing van het informatie-verlies probleem. Stel dat een hoeveelheid informatie ( in de vorm van elementaire deeltjes) wanneer het de horizon nadert, wordt gekopieerd door een of ander (quantum) Xerox machine en er dus twee exemplaren zijn. Een exemplaar valt volgens het equivalentie principe door de horizon en het andere exemplaar zal volgens de QM verdampen en onherkenbaar teruggestraald worden in de vorm van Hawking straling. Er zal geen conflict optreden. Beiden theorieen blijven geldig! En er is geen informatieverlies.

Men kan echter bewijzen met Heisenbergs onzekerheids principe dat er geen quantum-Xerox machines bestaan.

C. Behoud van informatie

Men noemt deze laag, die van de orde van de plancklengte is, de "stretched horizon" ( horizon deeltjes). Laat men een object richting horizon vallen, dan zal het uiteindelijk verdampen en als elementaire deeltjes met hun informatie die er in opgeslagen zit (zie hierboven: een verzameling deeltjes bezit hoge entropie) !

Het lijkt op een dampkring die  langzaam verdampt.

Men gelooft nu dat door dit proces er geen informatieverlies op zal treden. De wereld is "gered"" van de quantum-mechanische ramp van informatie verlies die bij de horizon zou optreden.

D. De wereld als een hologram

Een hologram is een interferentie patroon van een 3-dimensionaal beeld uit 2 richtingen opgeslagen op een 2-dimensionaal  negatief. Belicht men het  negatief op een slimme manier,
dan komt het 3-dim beeld weer terug en "hang" in de lucht. 3D films werken met dit principe.

Kijken we naar de muren van een lokaal, dan zullen we alle informatie van de ruimte binnen de muren zien op dat oppervlak. Ook heeft men bewezen dat de totale informatie die het heelal kan bevatten evenredig is met de oppervlakte van de bol aan het einde van het heelal, waarbij men 1 bit per planck-oppervlak kan opslaan. Dit is ongeveer van de orde: 10^120 bits.

Deze regel geldt ook voor een zwart gat. Dus de "stretched" horizon bevat alle informatie van het zwarte gat. Hiermee is ook de informatie-paradox dus opgelost!

E. Leven we in een Anti-deSitter heelal?

Het holografisch beeld kan ook toegepast worden op ons heelal zelf. Alle informatie van het ons bekende heelal zit op een 4-dim vlak ( BRANE) in een 5-dimensionale ruimte ( BULK).

Zou het zo zijn dat onze fysische wereld, beschreven door de quantum velden theorie, een vlak voorstelt in een 5-dimensionale wereld? In het zgn anti-deSitter heelal zou dit kunnen: deze ruimte bezit een vlak in het oneindige, onze "brane". Het is een soort anti-horizon op 13,7 miljard lichtjaren afstand waarvan het licht ons nog niet bereikt heeft. De eigenschappen van de hete stretched horizon zal door quantum jitter weer virtuele deeltjes produceren, die nu niet naar buiten ontsnappen, maar terug vallen naar binnen toe.

De 5-dimensionale anti-deSitter oplossing van de vergelijkingen van Einstein werd door de nederlander deSitter al in 1917 gevonden.Het model bevat ook een constante, die de donkere energie( of cosmologische constante) zou kunnen voorstellen die nodig is om het heelal te krijgen die we nu waarnemen. Het aardige is dat Escher een tekening heeft gemaakt, de duivels en engelen, waarbij men steeds meer duivels en engelen ziet wanneer men dichter naar de rand van de tekening gaat. Deze tekening kon hij zo maken door een negatieve kromming ( hyperbolen schoof) te tekenen. Je krijgt het idee dat er oneindig veel informatie ( duivels en engelen) op de rand ligt! Escher tekende een hyperbolische geometrie. Het hele "universum" wordt platgedrukt op de binnenkant van de cirkel in het "gewone"Euclidische vlak ( waar de tekening in gemaakt is uiteraard). De rand stelt het oneindige voor in de hyperbolische ruimte. Vanuit het Euclidisch perspectief lijkt het alsof de figuurtjes steeds dichter bij elkaar komen. Maar vanuit het perspectief van de figuurtjes blijven de afmetingen gelijk. Het gehele universum lijkt hetzelfde of je nu in het centrum zit of dicht bij de rand. Deze rand blijft altijd oneindig ver weg.

Hieronder zie je een uitvergroting van een stukje Escher tekening ( schematisch). Bedenk dat dit model nog 2 dimensies hoger getekend zoiu moeten worden. 1 dimensie hoger lukt nog wel ( zie rechter plaatje). 2 hoger wordt lastig!

Deze ruimte heeft nog een bijzondere eigenschap: de som van de hoeken van een driehoek (zie het rechter plaatje hierboven) is kleiner dan 180 graden en is evenredig met de oppervlakte van de driehoek! Denken we nu even terug aan de vallende reiziger richting de horizon van een zwart gat, dan lijken deze twee voorstellingen op die van het complementaire beeld van het zwarte gat. Bewegen we richting de rand, dan zal de tijd wsteeds langzamer moeten gaan lopen voor de waarnemer in het centrum terwijl voor de reiziger zelf er niets verandert richting de cirkel. Leven we dus misschien in een binnenste-buiten gekeerd zwart gat met de streched horizon dicht tegen de binnenkant van de cirkel?

De beroemde theoretisch fysicus Lisa Randall heeft dit model van een 5-dim anti-deSitter heelal uitgebreid. Zij beweert dat alleen de zwaartekracht in de extra 5-de dimensie zich kan voortplanten. Alle andere krachten uit onze wereld zijn gebonden aan de brane. Door te veronderstellen dat er een soort "warp-factor" werkt voor deze extra dimensie lost dit model op een eenvoudige manier tegelijk het zgn hierarchie probleem op: waarom de zwaartekracht zo zwak is in vergelijking met de drie andere krachten. De zwaartekracht is vergelijkbaar in sterkte ver weg van onze brane ruimte en neemt sterk af wanneer we dichter bij onze brane komen. De afmetingen van objecten zullen dan juist toenemen omdat we nog steeds de gravitatiekracht van Newton hebben: zwaartekracht omgekeerd evenredig met afstand.

Het oorspronkelijke model van Randall heeft twee branes: onze wereld en de gravitatie-brane. In een nieuwe versie is er 1 brane.Zie ook "modern physics" in menu.