De tijd machine van Gott

De gravitatie theorie van Einstein

Einstein poneerde zijn beroemde theorie over de zwaartekracht in 1922.

Einstein

Het gedrag van straling en massa beschreef hij op een elegante wiskundige manier: de ruimte “vervormt” in de buurt van een massa.

Als de ruimte wordt vervormd in de buurt van massa (zie figuur 2)

fig 2

dan zal licht dus afbuigen in de buurt van het object. Dit verschijnsel is experimenteel aangetoond tijdens een zonsverduistering. Zie figuur 3

fig 3

Grote massieve objecten kunnen zo als een “gravitatielens” optreden.

Fig 4

In figuur 4 zie je een meerdere beelden van een object dat door de afbuiging van het licht door een melkwegstelsel wordt veroorzaakt. In figuur 5 zie je ook meerdere beelden van hetzelfde object.

Fig 5

In zekere zin kan ruimte ook als een dynamische grootheid gezien worden, zoals het electro-magnetische (EM) veld. Zie figuur 6.

fig 6

Wanneer de vervorming van de ruimte zich ook kan voortplanten als een golf, dan zou je het effect kunnen krijgen zoals is afgebeeld in figuur 7.

fig 7

Men noemt dit een gravitatie golf. Men hoopt dit verschijnsel spoedig aan te tonen met grote detectoren, zoals de LIGO detector (figuur 8) en de LISA detector (figuur 9). Wanneer twee neutronen sterren op elkaar botsen, zou een gravitatiegolf kunnen ontstaan die door LISA gevoeld moet worden!

fig 8

fig 9

Wanneer twee neutronen sterren op elkaar botsen, zou een gravitatiegolf kunnen ontstaan die door LISA gevoeld moet worden!

fig 9b

fig 9c

Wanneer twee grote zwarte gaten bij elkaar in de buurt staan, kan ook gravitatiestraling worden uitgezonden. Zie figuur 9b.

fig9d

Ook wanneer een supernova ontstaat (fig 9d) zou gravitatiestraling gevoeld

moeten worden.

Wanneer dit inderdaad wordt aangetoond, heeft men weer een bewijs dat de theorie van Einstein klopt.

Een ander verschijnsel dat de theorie van Einstein bewijst, is het Sagnac effect. Wanneer een object draait, dat wordt de ruimte ook wat vervormd. Dit is een ander effect dan de statische vervorming zoals afgebeeld in figuur 2. Men spreekt van “frame-dragging”. De aarde draait ook, dus de ruimte om de aarde wordt ook wat “opgewonden”.

fig 10

Wanneer men nu een satelliet links om om de aarde laat draaien en de omloopstijd vergelijkt men die van een satelliet die rechtsom draait, dan vindt men een klein tijdsverschil!

Een bijzonder object: de Kosmische string

Het beroemdste object dan iedereen kent, is een zwartgat. Het kan het overblijfsel van een supernova zijn: de restmassa van de ster schrompelt ineen door de zwaartekracht en uiteindelijk vormt zich een zwartgat. Nu verschilt de vervorming van de ruimte om een zwartgat niet zoveel van die van een gewone ster. Het zwaartekracht veld is alleen wat sterker. Zo sterk dat binnen een zekere straal (Schwartzschild straal) zelfs licht naar binnen wordt gezogen. Omdat licht het middel is om informatie te ontvangen van een gebeurtenis of object, zal dus een zwartgat vanaf de Schwartzschild straal voor ons verborgen blijven. We noemen dit een gebeurtenis horizon. Wat er nu precies binnen deze horizon zich afspeelt, is onbegrepen.

Immers de zwaartekracht neemt steeds meer toe (evenredig met 1/r²). Dus volgens Newtonse theorie moet in het centrum de kracht oneindig groot zijn (1/0=?).

In figuur 11 zie je de vervorming afgebeeld.

Fig 11

fig 12

Toch heeft een zwartgat aan de buitenkant “normale” eigenschappen. Hij bezit massa, soms draaizin, lading en zelfs magnetische lading. De meest interessante zwarte gaten zitten in het centrum van melkwegstelsels. Zie figuur 13

fig 13

fig 14

Er zijn natuurkundigen die beweren dat er ook “mini” zwarte gaten bestaan en misschien in de grote deeltjes versneller in CERN aangetoond kunnen worden. Dan zou figuur 14 misschien wel werkelijkheid kunnen worden!

Zijn er dan nog exotischer objecten in het universum? Het antwoord is ja!

Een massief object zoals een zwartgat kan ook de vorm van een cilinder aannemen.

De theorie van Einstein laat een cilindrisch object toe waaromheen de ruimte op een wel heel bijzondere manier vervormd is: de cilindrische ruimte mist een wig. Knippen we uit een vel papier een wig en plakken we de twee randen aan elkaar, dan ontstaat er een kegelachtige structuur. Zie figuur 15

Fig 15

De twee dimensionale ruimte die zo ontstaat is in de drie dimensionale ruimte niet vlak meer. Men kan de vlakke Euclidische ruimte in onze vier dimensionale ruimte ( x,y,z en de tijd) voorstellen door het lijn element

Of in poolcoördinaten

C is de lichtsnelheid.

Een willekeurig punt P kunnen we lokaliseren door de z, r en coordinaat. Zie figuur 16. Er geldt:

fig 16

De oplossing van de vergelijking van Einstein die een cilinderachtige oplossing minus een wig voorstelt wordt een kosmische string oplossing genoemd. Het heeft eigenschappen vergelijkbaar met een gewoon zwartgat. In eerste orde benadering is de ruimte om zo’n string vlak minus een wig.

fig 17

In lijnelement taal betekent dit dat , met een factor kleiner dan 1.Deze factor wordt bepaald door de massa van de string. Een kenmerk van zo’n string is dat het dubbelbeelden kan geven van astronomische objecten. Zie figuur 15.

Omdat de z-coordinaat hier geen rol speelt, kunnen we hem ook weglaten in het lijnelement. Er is geen gravitatie effect(vlakke ruimte). We hebben dus te maken met een (2+1) dimensionale Euclidische ruimte minus een wig.

Stel nu dat we twee van deze strings boven elkaar plaatsen op korte afstand van elkaar.

fig 18

In figuur 18 is dit in vooraanzicht getekend. Een waarnemer in A zal 3 beelden van B zien. Een lichtstraal door O, een lichtstraal via E₁-E₂ en een lichtstraal via E₃ –E₄ . Omdat E₁ en E₂ een en het zelfde punt zijn, zien we dat de lichtstraal via E₁-E₂ er sneller is dan de lichtstraal via O ( w₀ <x₀ wanneer d<y₀ ). Wanneer een lichtstraal dit lukt, dan kan een raket met voldoende snelheid t.o.v. de string dit ook. Een raket kan dus twee gebeurtenissen in het y=0 vlak verbinden die een ruimte-achtige separartie hebben. Dat wil zeggen dat hij eerder in B kan zijn dan een lichtstraal!

Stel nu dat we met een raket met hoge snelheid (=v/c) vertrekken uit A richting B via E₁-E₂ , om vervolgens via E₃ –E₄ langs de tweede string naar A terug. Om deze gebeurtenissen goed te kunnen beschrijven moeten we eerst de speciale relativiteitstheorie van Einstein begrijpen. Deze theorie werd door Einstein in 1905 gepostuleerd.

Deze theorie berust op de volgende stellingen:

1. In alle stelsels die eenparig t.o.v. bewegen, gelden dezelfde wetten.

2. Er is geen bevoorrecht systeem.

3. Het is niet mogelijk de constante beweging van een systeem t.o.v. een ander systeem vast te stellen door mechanische experimenten binnen dat eerste systeem.

4. De lichtsnelheid in vacuum is constant voor alle waarnemers in alle richtingen en op alle tijden.

Een belangrijk begrip in deze theorie is gelijktijdigheid. Omdat de maximale snelheid altijd de lichtsnelheid c is, zal informatie dus ook maximaal met snelheid c kunnen reizen. De afgelegde weg r is dus

of

of

voor een foton. Omdat men niet sneller dan c kan reizen, geldt dus dat (tijd-achtig). Wanneer we de z-as even buiten beschouwing laten, dan stelt de invariant een kegel voor. De begrenzing is de deellijn

fig 19

Onze wereldlijnen blijven binnen deze kegel, omdat we niet sneller dan c gaan. Stel nu dat we twee punten hebben die t.o.v. elkaar bewegen en we willen informatie over een gebeurtenis in een van de stelsels uitwisselen. Dan hebben we een probleem, omdat we iets moeten afspreken over de tijd waarop de gebeurtenis plaatsvond. Er is geen gelijktijdigheid te definieren, immers als we op de klok van het andere bewegende stelsel willen kijken, dan duurt het even voordat het licht bij ons is.

We moeten dus de tijd als een extra coordinaat van een stelsel zien. We definieren een 4-vector van een voorval in een zeker stelsel S als (t₁,x₁,y₁,z₁).

Stel nu dat we tweede stelsels S’ hebben, die een snelheid v heeft gemeten in S. Een voorval in het tweede stelsel S’ heeft coordinaten (t₂,x₂,y₂,z₂). De twee gebeurtenissen zijn dan met elkaar verbonden door de zgn. Lorentz-transformatie (LT):

Met . We hebben de y en z even weggelaten.

Alleen met een LT kan men twee gebeurtenissen in verschillende inertiaal stelsels vergelijken. Het bewijs is simpel (heen en terug):

We gaan terug naar onze kosmische string reiziger. De 4-vector van de punten E₁ , E₂ , E₃ , E₄ in figuur 16 zijn:

,

In het laboratorium systeem. Vervolgens geven we de strings snelheid.

fig 20

Na de LT worden de coordinaten van E₁ , E₂ , E₃ , E₄

,

De punten E₁ , E₂ worden weer gelijk evenals E₃ , E₄ .

Een raket met snelheid kan nu in het lab-stelsel reizen van E₂ naar E₃

en van E₄ naar E₁.

De tijdwinst van E1 naar E2 is .

In deze tijd moet de raket minimaal overbruggen 2.y₁. Dus

We kunnen x₀ vrij kiezen, dus kunnen we kiezen. Omdat

<1 moet zijn, geldt

Dus

, of

De raket beschrijft dan een gesloten tijd kromme (CTC).

Voor een super massieve string vindt men ongeveer .

Zou een superbeschaving is staat zijn om een raket op deze manier in een tijd-loop te krijgen? Hieronder zie je een methode hoe een superbeschaving dit zou kunnen veroorzaken.

Het model vertoont echter een aantal problemen. Zo zou de snelheid tachionic worden: sneller dan het licht.